Paradoks EPR

Z zasad mechaniki kwantowej wynika, że nie można jednocześnie zmierzyć położenia i pędu cząstki z dużą dokładnością. Im większa jest dokładność pomiaru położenia, tym mniej wiemy o pędzie i vice versa. Jest to skutek braku komutacji między położeniem i pędem [x, p] != 0. Czy jednak nie istnieje żaden sprytny sposób zmierzenia jednego i drugiego?

Wyobraźmy sobie pionową deskę z drewna, w której wyryto dwie dziury znajdujące się w pewnej odległości L. Następnie kierujemy na tę deskę dwie cząstki, o których wiemy tylko tyle, że ich pionowy pęd jest zerowy. Jeżeli obie cząstki przejdą przez szczelinę, to mierząc położenie jednej z nich x1 (na przykład dolnej), od razu znamy położenie drugiej. Będzie ona znajdować się na wysokości L + x1.

Nie mierząc położenia drugiej cząstki, możemy zmierzyć dokładnie jej pionowy pęd p2, który mógł ulec zmianie po kontakcie z deską. Można również zmierzyć pęd pionowy deski P (zarówno przed jak i po przejściu), która mogła zostać poruszona przez cząstki. Wówczas z zasady zachowania pędu można obliczyć pęd pierwszej cząstki p1 = P - p2.

W ten sposób mierząc tylko położenie pierwszej cząstki oraz pęd drugiej, wiemy wszystko o pędzie i położeniu obu cząstek! Ten dziwny fakt jest znany jako paradoks EPR (Einstein–Podolsky–Rosen). Czy jednak ten eksperyment nie łamie zasad mechaniki kwantowej?

Tworzymy obie cząstki, ustalając tylko ich pęd pionowy, ale nie zakładamy nic o położeniu. Mierząc pęd deski, nie musimy mierzyć jej położenia. Zatem prawa mechaniki kwantowej nas nie ograniczają. Dodatkowo wielkości te komutują [p1 + p2, x1 - x1] = 0, co oznacza, że wedle praw kwantowych można zmierzyć obie na raz.